Корреляционный анализ случайных последовательностей в

Введение В настоящее время наблюдается широкое распространение методов корреляционного анализа для решения различных практических задач. Необходимость выявления наличия и характера статистической зависимости наблюдаемых величин возникает в подавляющем большинстве областей исследования: это радиои гидролокация, навигация и связь, химия, астрофизика, экология, и даже социология и психология. По результатам корреляционного анализа можно делать выводы о взаимозависимости случайных величин, проверять гипотезы относительно параметров их распределения, получать оценки коэффициентов парной, частной и множественной корреляции. В статье рассматривается проблема восстановления ковариационной матрицы случайного дискретизированного сигнала, прошедшего искажающую среду с неизвестными параметрами. Решение этой задачи методами корреляционного анализа невозможно из-за априорной неопределенности как относительно статистических параметров самого сигнала, так и искажающей среды. Предлагаемый подход опирается на использование полиномиальных статистик — полиномиальных представлений случайных последовательностей . Изначально интерес к этим математическим объектам был вызван их свойствами, полезными с точки зрения решения весьма актуальной сегодня проблемы «слепой» обработки сигналов, в частности «слепой» идентификации каналов связи . «Слепой» корреляционный анализ на основе многообразий заданной корреляции Пусть x є C — комплексный случайный вектор, описываемый плотностью вероятности fx(xjxn),а x(z),z є C соответствующий ему комплексный полином n -1 степени со случайными коэффициентами. Полиномиальным моментом порядка (k + m ), где k = kj +k2 + …+kr и m = m 1+m2 +…+ mr, случайного вектора x є Cn называется полином из кольца C над полем комплексных чисел, сформированный следующим образом: Пусть xj (z)и x2 (z) — случайные полиномы с независимыми векторами коэффициентов, ,mi,…,mr (*i ) и H?__Л И] mr (f2 ) — соответствующие им многообразия заданной корреляции. Тогда многообразия нулевой корреляции, возникающие в результате произведения и суммы соответствующих полиномов, описываются следующими выражениями: SV2 (0J k1 ,m ,…,mr ( J P kj,…,kr,mj,…,mr (z z2 » zr ) = m {x(zj ) 1 … x(zr ) rx (zj )m … x (zr ) r }, где символ * означает комплексное сопряжение, а M — оператор математического ожидания. Если у (z) = h (z )x (z) — произведение случайного полинома x(z ) и неслучайного h(z ), тогда соответствующие им полиномиальные моменты будут связаны соотношением Piy {ziz, ) = P* (zz, ) h (z )… h (z, ). (2) kx,…,kr,m,—,mr (J ki,…,kr,mi,…,mr ( J. Пусть x (z), x2 (z),…,xn (z) — набор независимых случайных полиномов, а ,m,,…,mr (t1 ) «і»,…,*,,m,,…,mr (tn ) — соответствующие им многообразия заданной корреляции, тогда ,ml ¦¦¦mr ((^2 ) 0 .m, ,…,mr (ti ) (9) Если же y (z) = Xj (z)x2 (z), где Xj (z) и x2 (z) — случайные полиномы с независимыми коэффициентами, то P(z,z,) = (z,z,) P*2 (z,z,). (3) Теперь определим полиномиальный кумулянт порядка (k + m ), где k = k, +k2 +… + kr и m = m j+m2 +…+ mr, случайного вектора x є Cn как полином от r переменных из кольца С… zr ] : Кі ,…,кг ,Ші ,…,mr у і і (zi ;z2 — zr ) = (4) ¦ cum{x(zj … x(zr )* x* (zj … x* (zr }, (10) *l ,mj ,…,mr (t1 + Г2 + + ln У = С\ sx (t У I kj ,mj ,…,mr ( i } В (9) и (10) tt ф 0. Многообразие Sc Cr называется неприводимым, если оно может быть представлено в виде E = Ei U S2, где Si и S2 — аффинные многообразия, в том и только том случае, когда или Si = S , или E2 = S . Если S c Cr — аффинное многообразие, тогда существует единственное разложение вида: где cum — кумулянт случайной величины. Для каждого полиномиального кумулянта можно определить множество точек в пространстве Cr, на котором значение полиномиального кумулянта принимает заданное значение t є C : (5) {z є Сr :Kxk]_kr m]_mr (zi,z2 … zr ) = t}. Заданное таким образом аффинное многообразие в пространстве Cr называется многообразием заданной корреляции. (11) где каждое S; — неприводимое многообразие и Таким образом, многообразием заданной корреляции случайного полинома, как и любое аффинное многообразие, может быть получено конечным объединением неприводимых многообразий или разложено в такое объединение. Используя предложенный математический аппарат, можно восстановить ковариационную матрицу информационной последовательности, ко (12) торая подверглась линейным искажениям. Пусть модель системы описывается линейной комбинацией полиномов положительной степени: y (z ) = h (z )x (z ) + n (z ) В этом выражении h( z ) — неслучайный полином конечной дискретной ИХ системы (это означает, что вносимые искажения не изменяются во времени), а y (z ), x( z), n(z) є C — случайные полиномы, соответствующие наблюдаемому дискретному отклику системы, информационной последовательности на входе и отсчетам шума. Уравнение, связывающее полиномиальные кумулянты на входе и выходе системы (12), можно записать в следующем виде: к,ш \ j r ) = h (zj ) … h (zr ) x xK (zj)»» … h* (zr f Kxm (zj … zr)¦ + K,,m (zj…zr ), где Kk,m (Z1 — Zr ) = h (Z ) … h (Zr ) h* )»» … h* (Zr )Г . Когда о статистике информационной последовательности имеются лишь общие предположения, для корреляционного анализа можно использовать структуру декоррелирующих многообразий (многообразий нулевой корреляции). Поскольку статистика шума предполагается известной, то согласно (5) выражение (13) можно записать в виде: s с; (о)=s (о )U sx ,и (o ), жением многообразия Sy mn (0) на объединение неприводимых многообразий. При этом нам не требуется априорного знания моментов информационной последовательности. Однако подобное разложение крайне сложная задача в поле комплексных чисел. Поэтому мы воспользуемся отличием размерностей многообразий, порожденных ИХ системы и информационной последовательностью. Многообразие нулевой корреляции S ? m (О) порождено нульмерным многообразием (конечным множеством точек) в C и представляет собой объединение комплексных гиперплоскостей в Cr. Многообразие Sx m (О) порождается, как правило, одномерным многообразием в C . Итак, с учетом размерности можно разделить неизвестные многообразия, выбирая различные сечения. И слепой алгоритм восстановления входной ковариационной матрицы при r = 2 сводится к следующей последовательности действий: 1. . Оцениваем полиномиальную ковариацию P2y0 ( Zj, z2 J по M реализациям наблюдаемого отклика системы. 2. . Вычисляем корни полиномов от одной переменной P2y0 ( zj, z2 J и P2y0 ( Zj, z2 J при z\ ^ z^ и формируем из них векторы i»j и r2 соответственно. 3. . По критерию — г2|| e (a2J формируем вектор rh, состоящий из L ближайших корней выбранных сечений P2y0 ( zj, z2J в комплексной плоскости C. 4. . Восстанавливаем ИХ системы h = roots-1 (rh ). 5. . Используя знание о корнях ИХ системы rh , составляем матрицу коэффициентов N нормированных сечений ( zj, z2 J : 1. где }, (15) |p2:o ( z, z2J| *i, m (* )=\K k.m (zi — zr j- PX (z z NJ 6. Находим старшие коэффициенты поли- «K,m (z, l = t, t є C}. Выше уже отмечалось, что любое многообразие может быть представлено в виде объединения конечного числа неприводимых многообразий, и более того, что такое представление единственно. Если Shkm (0) zH(0), то представление (14) единственно. А значит, многообразие Sxkm (О) полностью характеризует импульсную характеристику системы и может быть найдено разло і = 1,N из номиального момента r20 (Zj,z2 условия: h(z, )h(z2) г ¦ Px ( z z J = 1 P2,0 (zl z2 J 7. Оцениваем ковариационную матрицу входной информационной последовательности по полиномиальной ковариации P2x0 ( zj, z2 J : k,m V/ Px = PT ( VT ( z2, z2zN2J] , где VN ( z2, z22z-f J — N x N матрица Ван-дермонда. В общем случае, при r 2 принцип разделения остается тем же. То есть проекция Cr — C многообразия SJjm (0), порожденного ИХ системы, на любую координату нульмерна, а многообразия Sx m (0), порожденного информационной последовательностью, как правило, имеет размерность 1. Результаты математического моделирования Для оценки эффективности предложенного алгоритма использовалась относительная погрешность восстановления Q, которая рассчитывалась по формуле: Q = M {IR x — Pj/| |R ,| } На рис. 1 представлены графики, отражающие зависимость относительной погрешность восстановления Q от использованного числа реализаций M наблюдаемого случайного процесса. В качестве входной информационной последовательности рассматривался случайный вектор с заданной ковариационной матрицей. Моделирование проводилось для трех следующих типов матриц. 10,5 0 ^ 0,5 1 1. r = . . 0,5 v 0 0,5 1 , d1 r1 0 ^ 2. R = 12 2 . r2 rn-1 v 0 rn-1 dn y 3. Rx — произвольная симметрическая положительно определенная матрица. Импульсная характеристика системы была выбрана произвольным образом, но не изменялась в течение всего эксперимента. Заключение Представлен метод корреляционного анализа конечных случайных последовательностей. Алгоритм позволяет получить оценку ковариационной матрицы конечной информационной последовательности, прошедшей неизвестную линейную искажающую систему с конечной импульсной характеристикой. При этом на ковариационную матрицу случайной последовательности не накладываются никакие ограничения. Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи. М.: Радио и связь, 2003. — 230 с. , Слепая идентификация информационного канала по многообразиям заданной корреляции, порожденным случайными полиномами // Успехи современной радиоэлектроники. №8, 2008 — С. 70-77.