Математическая модель, как основа компьютерного

Введение При работе на лесных вырубках ходовая часть трактора и почвообрабатывающее орудие постоянно подвергаются знакопеременным нагрузкам вследствие наличия большого числа препятствий в виде пней, корней, камней и неровностей поверхности. Поэтому для повышения экономической эффективности технологических агрегатов целесообразно оснащать их системами рекуперации энергии. Для изучения возможности оснащения рекуперативным гидроприводом (РГ) почвообрабатывающего агрегата разработана математическая модель, описывающая динамическое поведение агрегата в процессе работы на вырубке. 1. Построение модели технологического агрегата В работе предложено использовать рекуперативную систему, встроенную в гидросистему трактора. Элементами, непосредственно воспринимающими внешние усилия, являются гидроцилиндры, устанавливаемые между балансирами кареток трактора, гидроцилиндр навесной системы и гидроцилиндр предохранительного механизма культиватора. Для оптимизации параметров элементов рекуперативной гидросистемы была разработана имитационная компьютерная модель. При проектировании современных конструкций высокопроизводительных технологических агрегатов математическое моделирование играет очень важную роль. Существующие аналитические и компьютерно ориентированные методы моделирования, в конечном счете, сводятся к формированию системы уравнений, описывающей моделируемый объект, и к дальнейшему анализу этой системы . Для компьютерного моделирования исследуемого объекта разработаны специальные алгоритмы, основанные на вышеуказанном методе, и программное обеспечение, для написания которого выбран язык программирования Object Pascal и среда программирования Borland Delphi 7.0. При моделировании исследуемого объекта оказалось целесообразным разбить его на две подсистемы, существенно различные по своей физической природе: механическую и гидравлическую. Благодаря этому при моделировании представилось возможным проводить независимо механический и гидравлический расчеты. В то же время необходимо было учитывать взаимное влияние подсистем друг на друга в таких элементах исследуемого объекта, как гидроцилиндры кареток и гидроцилиндр навесного механизма. Исходя из конструкции агрегата, он, как механическая система, был условно разбит на семь тел, как показано на рис. 1. Кроме того, был определен набор точек, в которых тела контактируют друг с другом при помощи рассмотренных выше четырех типов связей: цилиндрических шарниров (12-22, 24-32, 13-52, 42-54, 63-71), невесомых нерастяжимых тяг (01-11, 14-62, 15-61), пружин (23-33, 43-53, 64-72) и гидроцилиндров (23-33, 43-53). Рис. 1. Представление опытного агрегата в имитационной модели в виде совокупности твердых тел Массы тел и полярные координаты контактных точек имеют следующие значения: — тело 1 (рама трактора): m1 = 2834 кг; J1 = 4782 кг·м2; r11 = 1,332 м; ?11 = -12,3°; r12 = 0,6876 м; ?12 = -141,5°; r13 = 0,7056 м; ?13 = -37,0°; r14 = 1,713 м; ?14 = -10,0°; r15 = 1,661 м; ?15 = 12,5°; r16 = 1,330 м; ?16 = -166,4°; r17 = 0,906 м; ?17 = 55,5°; r18 = 2,62 м; ?18 = -10,0°; — тело 2 (большой балансир): m2 = 46 кг; J2 = 1,238 кг·м2; r21 = 0,1227 м; ?21 = -142,5°; r22 = 0,2717 м; ?22 = -13,5°; r23 = 0,1948 м; ?23 = -83,5°; r24 = 0,1716 м; ?24 = 9,0°; — тело 3 (малый балансир): m3 = 37 кг; J3 = 0,7180 кг·м2; r31 = 0,0947 м; ?31 = -56,0°; r32 = 0,1437 м; ?32 = 156,0°; r33 = 0,1931 м; ?33 = -67,0°; — тело 4 (малый балансир): m4 = 37 кг; J4 = 0,7180 кг·м2; r41 = 0,0947 м; ?41 = -124,0°; r42 = 0,1437 м; ?42 = 24,0°; r43 = 0,1931 м; ?43 = -113,0°; — тело 5 (большой балансир): m5 = 46 кг; J5 = 1,238 кг·м2; r51 = 0,1227 м; ?51 = -37,5°; r52 = 0,2717 м; ?52 = -166,5°; r53 = 0,1948 м; ?53 = -96,5°; r54 = 0,1716 м; ?54 = 171,0°; — тело 6 (рама орудия): m6 = 410 кг; J6 = 8,121 кг·м2; r61 = 0,585 м; ?61 = -112,5°; r62 = 0,260 м; ?62 = -145,5°; r63 = 0,410 м; ?63 = -20,5°; r64 = 0,330 м; ?64 = 80,0°; — тело 7 (стойка орудия с рабочим органом): m7 = 90 кг; J7 = 2,820 кг·м2; r71 = 0,300 м; ?71 = 90,0°; r72 = 0,442 м; ?72 = -62,2°; r73 = 0,100 м; ?73 = -90,0°. В начальный момент времени тела необходимо расположить в пространстве (т.е. задать координаты их центров масс) и сообщить им начальные скорости таким образом, чтобы выполнялись условия кинематической связности механизма. Для этого в программе, описанной ниже, используется соответствующий алгоритм. Кроме того, для устранения неизбежных искажений механизма в процессе численного интегрирования периодически (каждые 50 шагов интегрирования) производится коррекция координат с помощью того же алгоритма. Общая система уравнений содержит 34 дифференциальных уравнения второго порядка и схематично может быть представлена следующим образом: Численное интегрирование полученной системы уравнений производилось с помощью модифицированного метода Эйлера — Коши. Шаг интегрирования для основных расчетов составлял ?t = 1,5·10-4 с. Гидравлическую подсистему агрегата можно условно разбить на элементы шести типов: гидроцилиндр двухстороннего действия, клапан, дроссель, трубопровод, тройник, пневмогидравлический аккумулятор (ПГА). Составим уравнения для основных элементов таким образом, чтобы в результате решения получить значения переменных (давлений, расходов, скоростей, перемещений и т.п.) в точках соединения гидроэлементов, именуемых узлами. Каждый из рассматриваемых элементов имеет не более трех узлов, связывающих его с другими элементами и соответствующих (кроме тройника) входу элемента, его выходу, а также подводу или отбору мощности. Условимся, что вход и выход элемента определяется принятым на схеме направлением потока рабочей жидкости через этот элемент. При изменении направления потока соответствующие величины (перепад давления, расход) меняют знак. В уравнениях введем обозначения: индекс i — узел на входе элемента, j — узел на выходе элемента, k — узел подвода или отбора мощности. Последовательно составим уравнения базовых элементов гидросистемы, воспользовавшись методикой, представленной в работе . Для использования в модели предлагаемая схема гидропривода была сведена к описанным выше шести базовым гидроэлементам (рис. 2). Взаимное влияние механической и гидравлической подсистем друг на друга учитывается в общих для данных подсистем элементах — гидроцилиндрах (в каретках и в навесном механизме). Рис. 2. Представление предлагаемой гидросистемы в модели в виде совокупности базовых гидроэлементов шести типов: Г1 … Г3 — гидроцилиндры двухстороннего действия; ПГА — пневмогидроаккумулятор; К1 … К11 — клапаны; Т1 … Т21 — тройники; ТП1 … ТП4 — трубопроводы Для того чтобы учесть, что поршень мультипликатора давления подпружинен, в систему уравнений ввели еще одно уравнение, задающее дополнительную силу FM, приложенную в конечном итоге к поршню гидроцилиндра и влияющую на давление в гидроцилиндре FМ = kM (zМ — zM0), (2) где kМ — жесткость пружины мультипликатора давления; zМ и zM0 — текущее и начальное положения поршня. Разработанная имитационная модель, несмотря на ряд сделанных допущений, предоставляет широкие возможности для изучения эффективности РГ, которыми оснащен агрегат, а также для оптимизации ее параметров. В математической основе модели около 160-ти дифференциальных и алгебраических уравнений, а также неравенств. Для реализации математических расчетов и проведения компьютерных экспериментов была составлена программа «Recuperation» на языке Object Pascal в интегрированной среде программирования Borland Delphi 7.0. Получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2006613263. Из большого количества параметров (около 120), описывающих отдельные элементы модели, наиболее важные можно изменять перед запуском программы. Для этого на интерфейсной форме программы предусмотрены 16 окон для ввода числовых значений параметров и два окна-переключателя флажкового типа (рис. 3). Для остальных параметров, которые при проведении расчетов не изменяются, были выбраны наиболее характерные значения и занесены непосредственно в код программы.Рис. 3. Изображение, выводимое на монитор во время проведения компьютерного эксперимента Работа с программой осуществляется следующим образом. После открытия файла Recuperation.exe производится ввод или изменение исходных данных в окнах интерфейса и по нажатии кнопки «Запуск» начинается компьютерный эксперимент. Для контроля текущего состояния модели, а также для первичного визуального анализа происходящих процессов на экран компьютера регулярно выводится графическое изображение исследуемой системы. В частности, схематично изображаются механическая подсистема и рельеф поверхности (рис. 3). Кроме того, в разных областях экрана схематично изображаются основные элементы РГ: гидроцилиндры кареток, гидроцилиндр навески, мультипликатор давления и пневмогидравлический аккумулятор (ПГА). Для облегчения восприятия давления в сопряженных полостях гидроэлементов представляются наглядно в виде гистограмм, а также дублируются численными значениями. Кроме того, рядом с изображением каждого гидроэлемента выводятся значения объемов жидкости, поступившей в гидроэлемент и ушедшей из него. Выводятся также некоторые характерные расстояния между базовыми точками механизма, текущие значения времени, координаты трактора и значения характеристик, подлежащих исследованию. По истечении заданного времени программа прекращает расчет. При нажатии на кнопки «Положение водителя», «Спектры колебаний», «Распределение ускорений» выводятся соответственно: зависимости от времени горизонтальной и вертикальной координат xВ(t) и yВ(t) точки расположения водителя трактора; амлитудно-частотные характеристики AX(f) и AY(f), рассчитанные по функциям xВ(t) и yВ(t); распределения горизонтальных и вертикальных ускорений p(aX) и p(aY). Результаты расчетов выводятся в графическое окно интерфейса, а также записываются в файлы на жестком диске компьютера. При проведении компьютерных экспериментов в разработанной программе предусмотрена возможность изменения следующих входных параметров, называемых в дальнейшем также «факторами»: tобщ — общее время компьютерного асчета (время окончания интегрирования); vаг — горизонтальная скорость движения агрегата; Nсл — число, отвечающее за случайную генерацию рельефа поверхности; ?L — линейная плотность препятствий; hпр max и wпр max — максимальные высота и ширина препятствий; pнач — начальное давление в гидросистеме трактора; pкр — критическое давление срабатывания предохранительного клапана; DГК и LГК — диаметр гидроцилиндра РГ каретки и среднее положение его поршня; DШГК — диаметр штока гидроцилиндра РГ каретки; cК — коэффициент жесткости пружины каретки; DГМ — диаметр гидроцилиндра мультипликатора давления; DШГМ — диаметр штока гидроцилиндра мультипликатора давления; L0М и cМ — начальная длина и коэффициент жесткости пружины мультипликатора давления. Кроме того, предусмотрена возможность исключения из модели переключателями флажкового типа подсистемы РГ кареток ходовой части и навесного механизма трактора. Во время каждого компьютерного эксперимента регистрировали следующие наиболее важные выходные характеристики: tзар — время зарядки ПГА; NР и NРН — средние за время компьютерного эксперимента значения мощности, возвращаемой всеми РГ и подсистемой РГ навесного механизма; xВ(t) и yВ(t) — зависимости от времени горизонтальной вертикальной координат точки расположения водителя трактора; AX(f) и AY(f) — амлитудно-частотные характеристики горизонтальных и вертикальных колебаний; p(aX) и p(aY) — распределения горизонтальных и вертикальных ускорений точки расположения водителя трактора; PA(t) — зависимость давления в ПГА от времени. Часть перечисленных характеристик (tзар, NР, NРН и PA(t)) позволяет судить об эффективности работы РГ, а остальные (xВ(t), yВ(t), AX(f), AY(f), p(aX), p(aY)) — о динамических нагрузках на агрегат и о комфортности условий работы водителя трактора. Результаты интегрирования системы дифференциальных уравнений, лежащей в основе модели, могут зависеть от начальных условий, т.е. от значений всех переменных в начальный момент времени t = 0. Поэтому остановимся на них подробнее. В начальный момент времени координаты тел механической системы задаются исходя из условий связности механизма. Начальные значения горизонтальных и вертикальных компонент скорости всех тел равны нулю, а давления во всех элементах гидросистемы одинаковы и равны Pнач. Для того чтобы избежать сложностей привязки механизма к конкретному рельефу поверхности, при t = 0 агрегат приподнят над поверхностью на высоту 0,1 м. С началом интегрирования под действием сил тяжести агрегат начинает «падать». При этом возникает некоторый переходный процесс, в течение которого катки трактора и дисковый рабочий орган последовательно вступают в контакт с рельефом поверхности и происходит быстрое затухание колебаний корпуса трактора, вызванных падением. Как показали проведенные оценки, трактор выходит на установившийся режим движения по поверхности примерно через 2,4 с после начала эксперимента. Так как рельеф поверхности генерируется случайным образом, возникает вопрос: какое минимальное время tКЭ в течение компьютерного эксперимента агрегат должен двигаться по сгенерированной поверхности, чтобы случайная ошибка в определении основных характеристик (в частности, наиболее важных NР и NРН) была меньше некоторого заданного уровня ? (было принято ? = 2 %)? Оценка tКЭ была произведена эмпирическим путем. Оказалось, что если трижды провести 200-секундный компьютерный расчет с одним и тем же набором входных параметров, но на различных случайно сгенерированных поверхностях, то среднее различие значений tзар, NР и NРН для этих трех расчетов составляет около 3 %. Поэтому в дальнейшем каждый компьютерный эксперимент заключался в троекратном движении агрегата длительностью 200 с по различным (но статистически идентичным) поверхностям; затем все выходные характеристики tзар, NР, NРН, AX(f), AY(f), p(aX) и p(aY) усреднялись по трем расчетам. При этом ошибка ? для каждой из характеристик составляет менее 2 %, а суммарное время эксперимента составляет tКЭ = 600 с, за исключением некоторого времени, уходящего на переходные процессы на начальных этапах движения. Увеличение времени tКЭ свыше 600 с нецелесообразно, так как зависимость ? от tКЭ носит обратно-коренной характер и дальнейшее увеличение времени компьютерных расчетов практически не приводит к уменьшению случайной ошибки. Стоит отметить, что большинство компьютерных экспериментов проводилось при скорости агрегата 1 м/с, поэтому в пересчете на расстояние можно считать, что усреднение основных выходных характеристик производилось на участке лесной поверхности длиной 600 м. Разделение каждого компьютерного эксперимента на три отдельных 200-секундных расчета имеет также следующее важное преимущество. При некоторых наборах параметров, лежащих вблизи границ применимости модели, велика вероятность кинематического коллапса механизма. Если в каком-то из трех расчетов встречается комбинация препятствий, приведшая к коллапсу, то результаты данного расчета исключаются из рассмотрения и проводится дополнительный 200-секундный расчет с новой сл