Смешанные задачи теории упругости для

Получены интегральные уравнения контактных задач для двухслойного упругого клина и симметричных задач о разрезе в трехслойном упругом клине. Предполагается шарнирное сцепление между слоями, внешние грани свободны от напряжений либо находятся в условиях скользящей заделки. Построены асимптотические решения. Ранее аналогичные задачи рассматривались для однородного клина и для случая полного сцепления между слоями . Пусть клин состоит из клиньев Q.i={rЈ\0, x\; фЈ}, шарнирно сцепленных по лучу ф=0 (г,ф — полярные координаты). Тело Q.„ («=1,2) имеет упругие характеристики G„ (модуль сдвига) и v„ (коэффициент Пуассона). В грань ф=(3 под действием силы Р без трения и перекоса вдавливается плоский штамп. Осадка штампа равна 5. Грань ф=-а свободна от напряжений (задача А) либо находится в условиях скользящей заделки (задача Б). При помощи преобразования Меллина задачи А и Б сводятся к интегральному уравнению относительно контактного давления оф=-д,(г) в области контакта ф=(3, a r b: (1) \q(j )k\\n.Ј-\dp = 7i62S (a r b). Щи) Е: ¦ lim uL(u). ы-s-O L2(u) Для задачи A (e=9i/92, 9„=G„/(l-v„), «=1,2) Zj (и) = (sh2em + и sin 2or)(sh2J3u + и sin 2/3) + + 2e(sh au-u sin a){ch2fhi-cos2(5), 22 2 L2(u) = 2(sh2aM+Msin2a)(sh pu-u sin /3) + 22 2 + 2e(sh au-u sin o0(sh2/^+Msin2/?). Для задачи Б Lx (и) = (ch2au — cos 2a)(sh2flu + и sin 2fi) + +e(sh2aw + мяп2аг)( ch2pu — cos2/?). При е-К) или есо (слой О.} очень мягкий или жесткий) функции L(u) для задач А и Б в пределе совпадают с известными символами для однородного клина с одной свободной гранью или при скользящей заделке одной грани. Рассмотрим клин {гЈ}, на биссектрисе которого имеется разрез (трещина), находящийся в раскрытом состоянии под действием заданной нормальной нагрузки оф=-р, a r b, ф=р±0. Клин является трехслойным и состоит из шарнирно сцепленных 36 ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2008. №5 клиновидных слоев -а ф 0, 0 ф 2(3 и 2(3 ф а+2(3. Внешние грани свободны от напряжений (задача В) или находятся в условиях скользящей заделки (задача Г). Предполагается симметрия задач В, Г относительно линии трещины, поэтому можно рассматривать только область -а ф Р, которая состоит из тел Q.„ (п=\,2), таких же, как в задачах А, Б (с теми же упругими характеристиками). Требуется найти форму раскрытия трещины иф=Дг), a r b, ф=(3-0, затем может быть определен коэффициент интенсивности нормального напряжения на концах трещины. С учетом связи между задачами В и А, Г и Б можно получить интегральное уравнение относительно fir), a r b: 7 sin и/ , ,„ч \-r—du.{3) О L(u) )Шк(ыЕ\ар_^{рг+С), K(t). а РК г)в 2 Функции L(u) в задачах В и Г такие же, как в задачах А и Б; постоянная С должна быть определена из условияfia)=0 vumfib)=0. Применяя регулярный асимптотический метод и вводя обозначения 1=2(\таф1а))~1, х=Мп(г/а)-1, q (x)=rq(r)/(aQ2), Po=P/(aQ2), найдем решение задач А и Б в виде Для задач В и Г аналогичное решение имеет вид №в2 _ yfi^1 p-Jabл лХ У/(Х): Т](х), т](х) = 1 + — + 22 6са+х2 х + 2х3 6Г (6) 48/Г { 120(Cl+c2x2)+x4 J 1 120Л4U5 1 d0 !+ -+ 320 16 __Ld±_ ~ 240 2 1 d0 со = — +- с 12 2 (Лг\J (Л] + -н- +-~, с? 4 8 \Ш со d™ = „ J r^\V-L-l(u)]u2m+ldu (от =0,1). (7) (2да + 1)!0 На основании (6) для коэффициентов интенсивности напряжений в вершинах трещины получим выражения: Ка = lim e2yJ2^(r-a)f(r) = p ^tj(-1)(8) r- a+0V Л р(х) Л г0 Ex 1-х 2 ~2 8х4) b^l-Sx 2Ъ1Ех-ЪЪхЕ(х-АхЪ) Ш4 b0(l- -2х2) 2лл а-^г Ъ^Ех U2 (4) Къ=- lim в2л12ф-г)Г(г) = р1^т1(1). Асимптотики (4), (6) дают приемлемую точность при Х 2/(3. В таблице даны значения постоянных (2), (5), (7) для случая пары материалов цинк-железо (первый материал прилегает к области контакта или трещины), когда е=2,156, а=30°. (-D (2ш+1)! {u m du (да =0,1). (5) Значения постоянных (2), (5), (7) р45°60°75°90°45°60°75°90° Задача АЗадача Б Е7,0263,5611,8601,0470,50470,61060,67850,6808 ь0-8,042-3,718-1,717-0,8096-0,3011-0,4372-0,4620-0,4104 *,2,1560,73200,26230,096130,43330,16020,078770,04206 Задача ВЗадача Г d01,9281,1330,66140,37690,20040,27770,26190,2152 d\-1,471-0,5247-0,2031-0,08007-0,4277-0,1553-0,07327-0,0378 Для задачи А, как показывают расчеты, возможно нарушение контакта вблизи вершины клина. Это происходит, например, при Р=45°, 1=2, когда на основании формулы (4) и значений, приведенных во втором столбце таблицы, имеем ф(-0,9) 0. Для задачи В значение Ка (8), как правило, больше, чем для задачи Г, что объясняется свободными от напряжений гранями (величина критической нагрузки при этом меньше). Например, при Р=45°, 1=2 на основании формул (6), (8) и значений, приведенных в шестом столбце таблицы, имеем К*а=1,009 для задачи В и ЈГ*=0,8021 для задачи Г, где К*а= Ka(bn/XfV2/p=r](-l). При малых значениях параметра X для решения уравнений (1), (3) можно использовать сингулярный асимптотический метод . Работа поддержана грантами РФФИ 08-01-00003 (задача А), 06-01-00022 (задача Б), грантом «Михаил Ломоносов» Минобрнауки РФ и германской службы DAAD (задачи В и Г).