Современные достижения в области двоичного

Введение Шеннона для пропускной способности непрерывного гауссовского канала опубликована им уже более 60 лет назад . Согласно этой теореме, применяя достаточно сложную систему кодирования (при доказательстве теоремы использовано случайное кодирование), можно передавать двоичную информацию со скоростьюсо сколь угодно малой частотой ошибок. Однако до сегодняшнего дня система кодирования, с помощью которой можно передавать информацию со скоростью равной пропускной способности канала со сколь угодно малой частотой ошибок, не найдена, что составляет основную нерешенную проблему помехоустойчивого кодирования. Пусть — отношение энергии на бит к односторонней спектральной плотности мощности шума. Для определения критерия -эффективности воспользуемся величиной, обратной . Такое определение введено : , где — частотная эффективность, — отношение средней мощности сигнала к мощности шума в полосе частот W канала. Тогда (1) Отсюда . Интуитивно представляется, что наилучшим на диаграмме эффективности является код, имеющий максимальное произведение . Найдем этот максимум для кодов К.Э.Шеннона. Для этого возьмем первую производную по от выражения (2) и приравняем ее нулю. При бит/(c·Гц) вторая производная выражения (2) отрицательна, следовательно, произведение максимально. Итак, при измерении информации в битах бит/(с·Гц), дБ, а дБ (см. точку А на графике рисунка 1). Эти параметры недостижимы двоичными кодами. Рис. 1 На рис. 1 приводится диаграмма -эффективности (зависимость от ) для кодов () и кодов плотнейшей поверхностно-сферической упаковки (ППСУ) (), а также графическая зависимость произведения от для кодов . Абсолютный критерий сравнения При частотной эффективности канала, равной частотной эффективности системы модуляции и кодирования, т. е. при , определяем отношение , требуемое границей . Для найденного отношения , требуемого границей при таком сравнении, рассчитаем вероятность блоковой ошибки декодирования реального помехоустолйчивого кода (ПК). Качество реального ПК определится величиной достигнутой вероятности . Такой критерий сравнения можно назвать абсолютным. В данном обзоре приводятся лучшие, на наш взгляд, результаты в области двоичного помехоустойчивого кодирования, опубликованные в открытой печати. Для оценки современных достижений в области ПК авторы воспользовались исследовательской секцией web-сайта JPL, на котором представлены наиболее интересные результаты различных авторов и компаний в данной области. В таблице 1 приводятся два помехоустойчивых кода, взятые из , с наименьшими расходами энергии на бит 0,23 дБ (код E) и 0,05 дБ (код H1) при блоковой вероятности ошибки декодирования . Эти коды при блоковых длинах и отстоят от границы плотнейшей поверхностно-сферической упаковки соответственно на 0,63 дБ и 0,52дБ, но от границы () при они отстоят соответственно на 0,789 дБ и 0,867 дБ. Таблица 1 №Параметры кода (n,k)Тип кода, дБ, бит/(с?Гц), дБ, дБ 1E(49152, 16243)Асимптотич. турбо код.0,230,6610,630,789 2H1(24000, 6000)Код с низкой плотностью проверок на четность 0,050,50,520,867 Лучшими результатами в области двоичного непрерывного кодирования на сегодняшний день являются результаты Claude Berrou и других соавторов , полученные ими для сверточных турбо кодов (СТК) с параметрами: относительная скорость кодера , кодовые генераторы (в восьмеричной форме) , , кодовое ограничение сверточного кода . В кодере выполняется прямоугольное перемежение с глубиной 256·256 бит. Кодер СТК строится, используя параллельное каскадное соединение двух рекуррентных систематических сверточных кодов; объединенный декодер, использующий декодирование с обратными связями, внедряется в виде конвейерных идентичных элементарных декодеров. Например, для 18 итераций декодирования () при обеспечивается вероятность ошибки на выходе декодера , т. е. при относительной скорости передачи энергетическая характеристика отстоит от границы на 0,7 дБ (). На рис. 2 приводится вероятность ошибки декодирования на бит для СТК при итеративном декодировании () со скоростью ?; перемежение 256×256 бит. Рис. 2 Основные достигнутые за рубежом результаты, относящиеся к декодированию блоковых низкоплотностных кодов (LDPC), приводятся на рис. 3 . Там же приводятся характеристики помехоустойчивости двух дуо-бинарных турбо кодов, работающих сразу с парами бит, в канале с аддитивным белым гауссовским шумом и двоичой фазовой модуляцией. Кривой «LDPC(n = 10 000 000) SP)» показаны характеристики очень длинного LDPC кода с длиной блока символов. При декодировании выполняется до 2000 итераций sum-product алгоритма декодирования. Графическая зависимость помехоустойчивости этого кода является наглядной демонстрацией асимптотических возможностей двоичных кодов данного класса. Она, как и все остальные графики рис. 3 , наглядно демонстрирует тот факт, что при асимптотическом приближении к границе (, дБ) вероятность ошибки декодирования всех лучших классов двоичных кодов с одномерной двоичной модуляцией стремится к величине , т. е. такая система сигналов и помехоустойчивого кодирования является плохой. Рис. 3 На рис.3 приведены характеристики методов коррекции ошибок для турбо и низкоплотностных кодов : 1) относительная скорость передачи ; 2) MLM — max-log-MAP алгоритм декодирования, 8 итераций; 3) SP — sum-product алгоритм декодирования, до 50 итераций; 4) MS- min-sum алгоритм декодирования. Заключение Лучшие двоичные коды (и непрерывные и блоковые) с одномерной двоичной модуляцией не способны обеспечить асимптотическое приближение к границе при частотной эффективности R/W = C/W канала и минимальном отношении . Для реализации этого приближения необходимо перейти к более эффективным (по отношению ) системам модуляции и помехоустойчивого кодирования. Обоснование такого подхода приводится в работах . Claude E.Shannon. Communication in the presence of noise.- Proceedings Institute of Radio Engineers, vol. 37, 1 (1949), p. 10-21. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации / , , , , ; Под ред. . — М.: Радио и связь, 1985. — 272с. Communication Systems and Research Section JPL/ Code Imperfectness. (дата обращения 9.06.2011). C. Berrou, A. Glavieux and P. Thitimajshima. Near Shannon limit error — correcting coding and decoding: turbo-codes.- Piscataway, N.J.: Cellular radio and personal communications,v.2: Advanced Selected Readings. Ed. by T.S. Rappaport and B.Coburn, 1996, p. 387-393. , , . Новые алгоритмы декодирования для высокоскоростных спутниковых каналов. — М.: 11-я Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применение — DSPA-2009», Москва, Россия, доклады, с. 6-9. . Троичные каскадные коды с модуляцией КАМ-9 и их возможности //Электросвязь. — 2009. — №3. — С.30-33. . Способ асимптотического достижения границы К.Э.Шеннона.- М.: 13-я Международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применение — DSPA-2011», Москва, Россия, доклады т.1, с.84-87.