Три неизбежные задачи

\section{Введение} Десять лет назад в этой же 417 аудитории Института математики, основанного Сергеем Львовичем Соболевым и носящего сейчас его имя, мне довелось сделать доклад о трех задачах из анализа и геометрии. Примерно о том же круге идей пойдет речь и сейчас. Задачи, которые я намерен обсудить, таковы: 1. {\it Внутренняя изопериметрическая задача}, состоящая в поиске фигуры наибольшего объема среди тел, имеющих фиксированную площадь поверхности и ограниченных наперед заданным множеством. 2. {\it Задача наилучшего приближения в смысле Парето}, например, поиск эффективной кривой, соединяющей полиномы Чебышева первого и второго рода. 3. {\it Нестандартное расширение теории категорий}, в частности, теоретико-топос\-ное определение робинсоновской стандартизации. Цель сообщения — указать неизбежность этих задач. Степень проработанности обсуждаемых тем и проблем весьма различна. Первая задача стала предметом моих исследований в 1968 г. и к ней я время от времени возвращаюсь. Вторая возникла в середине семидесятых годов, но никогда публично мною не формулировалась и серьезные результаты в этом направлении практически отсутствуют. Третья задача совсем свежая — она была сформулирована в беседе с А.~Г. Кусраевым третьего дня — 2~октября 2005~г. Прежде чем перейти к более детальному обсуждению указанной проблематики, хочу поделиться с аудиторией мыслями о природе выбора направления исследования, которые приняли для меня отчетливую форму в процессе подготовки к этому сообщению. Человеку дается совсем немного юбилейных докладов. Событие сегодняшнее редкое и предполагает особую снисходительность аудитории. Снисходительность — мать посредственности. Свежий продукт, произведенный посредственностью, называется банальностью. Со временем в банальности превращаются самые гениальные достижения, совершенные теории и принципиальные задачи. Ясно, что при жизни каждому ученому от производства банальностей следует по возможности воздерживаться. Основополагающий принцип науки — свобода выбора. Поэтому важно разобраться в том, какие задачи и теории мы выбираем, чтобы избежать банальности.\eject {\it В науке мы ценим то, что делает нас умнее}. Понятийный аппарат хорошей теории расширяет наши возможности при решении конкретных задач. Ценна та задача, чье решение открывает путь к новым плодотворным понятиям и методам. Важнейшим признаком хорошей задачи или теории является ее неизбежность. Науку двигают вперед неизбежные теории и неизбежные задачи. Решение неизбежной задачи — оселок для хорошей теории. Хорошие задачи помогают развивать хорошие теории. Как правило, решение неизбежных задач требует нового понятийного аппарата, переосмысления теоретического инструментария. Не следует сужать и утилизировать понятие задачи. Наука стремится сделать сложное простым. Стало быть, всегда актуальны пересмотр и инвентаризация имеющихся теорий, их упрощение, обобщение и унификация. Успех новой теории — это признак ее неизбежности. Мне кажется, что свобода в науке — это осознание неизбежности, вакцина от банальности. \section{1. Внутренняя изопериметрическая задача} Как известно, классическая {\it двойственность Минковского} состоит в отождествлении выпуклого компактного подмножества $\mathfrak x$ пространства $\mathbbm R^N$ и его опорной функции ${\mathfrak x}(z):=\sup\{(x,z): x\in \mathfrak x\}$ для $z\in \mathbbm R^N$. Рассматривая элементы $\mathbbm R^N$ как одноточечные фигуры, считают, что $\mathbbm R^N$ включено в cовокупность всех выпуклых компактов $\mathscr V_N$ пространства $\mathbbm R^N$. Двойственность Минковского индуцирует в $\mathscr V_N$ структуру конуса в пространства $C(S_{N-1})$ непрерывных функций на единичной евклидовой сфере $S_{N-1}$~— границе шара $\mathfrak z_N$. Эту параметризацию называют {\it структурой Минковского}. Сложению опорных функций при этом соответствует переход к их алгебраической сумме, называемой {\it суммой Минковского}. Полезно отметить, что {\it линейная оболочка} $$ конуса $\mathscr V_N$ плотна в $C(S_{N-1})$. Все эти обстоятельства были отмечены в классических работах А.~Д.~Александрова \cite{AD} по теории смешанных объемов, который широко использовал в своих геометрических сочинениях идеи и аппарат функционального анализа. Впоследствии погружением классов выпуклых фигур в функциональные пространства занимались многие авторы, в частности, Л.~Х\»ермандер и А.~Г.~Пинскер. Класс эквивалентных с точностью до переноса выпуклых поверхностей $\{z+\mathfrak x : z\in \mathbbm R^N\}$ отождествляют с соответствующей мерой на сфере — с {\it поверхностной функцией} этого класса $\mu (\mathfrak x)$. Корректность этой параметризации определена классической теоремой Александрова о возможности восстановления выпуклой поверхности по заданной поверхностной функции. Поверхностная функция представляет собой {\it александровскую меру}. Так называют положительную меру на сфере, не сосредоточенную ни в одном сечении сферы гиперподпространством и аннулирующую точки. Александровская мера является инвариантным относительно сдвигов функционалом на конусе $\mathscr V_N$. В контексте теории выпуклых тел последнее свойство меры называют инвариантностью относительно сдвигов. Конус положительных инвариантных относительно сдвигов мер в сопряженном пространстве $C (S_{N-1})$ обозначают через~$\mathscr A_N$. Уточним некоторые из используемых понятий. Пусть $\mathscr V_N$ — множество выпуклых компактов в $\mathbbm R^N$. Для $\mathfrak x, \mathfrak y\in \mathscr V_N$ символическая запись $\mathfrak x={}_{\mathbbm R^N}\mathfrak y$ означает совпадение $\mathfrak x$ и $\mathfrak y$ с точностью до параллельного переноса. Можно сказать, что $={}_{\mathbbm R^N}$ — отношение эквивалентности, связанное с предпорядком $\ge{}_{\mathbbm R^N}$ в $\mathscr V_N$, выражающим вместимость одной фигуры в другую при помощи параллельного переноса. Рассмотрим фактор-множество $\mathscr V_N/\mathbbm R^N$, составленное из классов транслятов элементов $\mathscr V_N$. Ясно, что $\mathscr V_N/\mathbbm R^N$ — конус в фактор-пространстве $/\mathbbm R^N$ векторного пространства $$ по подпространству $\mathbbm R^N$. Между $\mathscr V_N/\mathbbm R^N$ и $\mathscr A_N$ существует естественная биекция. Класс точек отождествляется с нулевой мерой. Классу, содержащему отрезок с концами $x$ и $y$, сопоставляется мера $$ |x-y|(\varepsilon _{(x-y)/|x-y|}\break +\varepsilon _{(y-x)/|x-y|}), $$ где $|\,\cdot\,|$~— евклидова длина, и для $z\in S_{N-1}$ символ ${\varepsilon}_z $ обозначает {\it меру Дирака}, сосредоточенную в точке $z$. Если размерность аффинной оболочки $\Aff(\mathfrak x)$ представителя $\mathfrak x$ класса поверхностей из $\mathscr V_N/\mathbbm R^N$ больше единицы, то считаем, что $\Aff(\mathfrak x)$ — подпространство $\mathbbm R^N$ и класс отождествляем с поверхностной функцией $\mathfrak x$ в $\Aff(\mathfrak x)$, являющейся в данном случае некоторой мерой на $S_{N-1}\cap\Aff(\mathfrak x)$. Продолжая эту меру тривиальным способом до меры на $S_{N-1}$, получаем элемент из $\mathscr A_N$, отвечающий классу, порожденному $\mathfrak x$. Биективность этого соответствия легко вытекает из теоремы Александрова. В деталях такую конструкцию описал В.~Файри \cite{Firey}. Структура векторного пространства в множестве регулярных борелевских мер индуцирует в $\mathscr A_N$ и, следовательно, в $\mathscr V_N/\mathbbm R^N$ структуру конуса, точнее, структуру $\mathbbm R_+$-опе\-раторной коммутативной полугруппы с сокращением. Эту структуру в $\mathscr V_N/\mathbbm R^N$ и называют {\it структурой Бляшке}. Подчеркнем, что сумма поверхностных функций $\mathfrak x$ и $\mathfrak y$ порождает единственный класс $\mathfrak x\,\#\, \mathfrak y$, называемый {\it суммой Бляшке} $\mathfrak x$ и $\mathfrak y$. Пусть $C(S_{N-1})/\mathbbm R^N$ — фактор-пространство пространства $C(S_{N-1})$ по подпространству следов линейных функций на $S_{N-1}$. Обозначим через $$ пространство $\mathscr A_N-\mathscr A_N$ инвариантных относительно сдвигов мер. Легко видеть, что $$ представляет собой также и линейную оболочку множества александровских мер. Пространства $C(S_{N-1})/\mathbbm R^N$ и $$ приведены в двойственность канонической билинейной формой $$ \langle f ,\mu\rangle=\frac{1}{N}\int\limits_{S_{N-1}}f\,d\mu \quad (f\in C(S_{N-1})/\mathbbm R^N,\quad\mu \in). $$ Для $\mathfrak x\in\mathscr V_N/\mathbbm R^N$ и $\mathfrak y\in\mathscr A_N$ величина $\langle \mathfrak y ,\mathfrak x\rangle$ совпадает со {\it смешанным объемом} $V_1 (\mathfrak x ,\mathfrak y)$. В частности, если $\mathfrak z_N$ — {\it единичный евклидов шар\/} в~$\mathbbm R^N$, то $V_1 (\mathfrak z_N ,\mathfrak x)$ — {\it площадь поверхности\/} $\mathfrak x$. При этом $V_1 (\mathfrak x ,\mathfrak y)$ — {\it объем\/} $\mathfrak x$. Пространство $$ принято рассматривать со слабой топологией, порожденной указанной двойственностью с $C(S_{N-1})/\mathbbm R^N$. Значение приведенных конструкций выходит за пределы нового определения суммы выпуклых поверхностей. Наличие двойственной пары нерефлексивных банаховых пространств сочетается с теоремой Александрова, устанавливающей необычный содержательный изоморфизм между упорядочивающими конусами в этих пространствах. Названные обстоятельства для функционального анализа совершенно исключительны и открывают дополнительные возможности для применения абстрактных методов. Рассматривая выпуклые поверхности с данным носителем поверхностных функций, мы видим, что это конус в структуре Бляшке. Для точечного носителя речь идет о классе многогранников с заданными направлениями внешних нормалей к граням. В геометрии хорошо известна изопериметрическая задача в этом классе, приводящая к экстремальному свойству многогранника, описанного вокруг шара. Одной из наиболее трудных и до сих пор нерешенных задач теории выпуклых поверхностей является {\it внутренняя изопериметрическая задача}, состоящая в поиске выпуклой фигуры, лежащей в данной област и имеющей максимальный объем при заданной площади поверхности. С функционально-аналитической точки зрения сложность этой задачи в том, что совокупность выпуклых поверхностей, лежащих в данном выпуклом множестве, выпукла относительно сложения Минковского, в то время как площадь поверхности линейна относительно сложения Бляшке. В случае плоскости ситуация упрощается, так как суммы Минковского и Бляшке фактически совпадают (в классе транслятов). К плоскому случаю можно свести и ситуацию, в которой ограничивающая фигура — тело вращения. {\sl Допустимое тело $\bar {\mathfrak x}$ является решением плоской внутренней изопериметрической задачи в том и только в том случае, если найдутся фигура $\mathfrak x\in\mathscr V_2$ и число $\bar\alpha \in \mathbbm R_+$ такие, что {\rm (1)}~$\bar {\mathfrak x}={}_{\mathbbm R^2} \mathfrak x+\alpha\mathfrak z_2$; {\rm (2)}~$\bar {\mathfrak x}(z)=\mathfrak x_0(z)$ для всех $z$ из $\spt(\mathfrak x)$.} \noindent Через $\spt(\mathfrak x)$ обозначен {\it носитель фигуры} $\mathfrak x$, т.~е. носитель меры $\mu(\mathfrak x)$ — поверхностной функции~$\mathfrak x$. О результатах такого сорта см.~\cite{KutRub, Kut98}. Наиболее наглядное и значительное продвижение здесь было достигнуто при изучении обобщений задачи П.~С.~Урысона, состоящей в~максимизации объема поверхности при заданном интеграле ее ширины. По классическому результату, опубликованному П.~С.~Урысоном в год своей кончины \cite{Urysohn}, ответом будет шар, что следует из подходящих соображений симметрии. В~1970-е годы в качестве модели общих функционально-аналитических методов геометрии мною была поставлена и решена {\it внутренняя задача Урысона}: при заданном интеграле ширины найти выпуклую фигуру наибольшего объема, лежащую внутри наперед заданной (например, симплекса в~$\mathbbm R^N$). Принципиально новая сложность здесь в том, что никакие соображения симметрии в этой и аналогичных задачах не проходят. Подобные задачи следует решать в некотором обобщенном смысле — по модулю теоремы А.~Д.~Александрова о восстановлении поверхности по кривизне. Для задачи Урысона в многограннике ответом будет мера Лебега с добавлением точечных нагрузок в нормалях к граням исходного многогранника, т.~е. соответствующая сумма Бляшке. Внутренняя изопериметрическая задача даже в тетраэдре в общие схемы не вполне укладывается. В 1994 г. А.~В. Погорелов \cite{Pog} нашел форму мыльного пузыря в трехмерном симплексе. Решением оказалась обкатка шаром взвешенной суммы Бляшке единичного шара и симплекса, т.~е. сумма Минковского шара и решения внутренней задачи Урысона в этом симплексе. Других значимых продвижений во внутренней изопериметрической задаче нет. Неизбежность внутренней изопериметрической задачи и ее аналогов представляется очевидной — у нас нет ни методов, ни терминов, достаточно удобных для описания решений. Требуется новый уровень понимания этого круга вопросов. \section{2. Задача наилучшего приближения в смысле Парето} Изопериметрические задачи пришли к нам из тех древних времен, когда геометрия была или считалась экспериментальной наукой. Мир, данный нам, обладает несомненным свойством единственности. Уникальность мира воспринималась нашими предками как причина единственности его реальной геометрии. Именно это воззрение не в малой мере оправдывало многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида. Не следует думать, что нынешняя математика полностью освободилась от экспериментальности. Дело не ограничивается тем, что многие доказательства мы до сих пор заканчиваем ссылкой на очевидность. Модную тему метафоры в математике \cite{Manin, Lakoff} здесь можно было бы при желании продолжить и развивать с достаточно полной убедительностью. Живы и весьма популярны воззрения, отводящие математике роль аппаратной базы, инструментария естествознания. Подобные взгляды можно условно выразить девизом: математика — это экспериментальная теоретическая физика . Не менее популярно и двойственное суждение: теоретическая физика — это экспериментальная математика . Обсуждение возникающей дилеммы — увлекательное и благодатное занятие. Углубляться в эту тему сейчас нам не стоит. Я коснулся ее лишь для того, что подчеркнуть связь математических идей и воззрений с естествознанием. Стоит подчеркнуть, что догматы религии и положения теологии также не в малой мере отражены в истории математических теорий. Вариационное исчисление, возникшее во многом в связи с осмыслением принципов механики, в своей идейной основе имело религиозное представление об универсальной красоте и гармонии акта творения. Единственный бог и единственный мир появились в тезаурусе человечества задолго до теорем существования и единственности вариационного исчисления. Двадцатый век отмечен важным поворотом в содержании математики. Математические идеи широко проникли в гуманитарную сферу и прежде всего в экономику. Взаимопроникновение математики и экономики как императив двадцатого века — таков главный посыл творческого наследия Л.~В. Канторовича \cite{Kantorovich}. Социальные явления принципиально вариативны, многозначны и обладают высокой степенью неопределенности. Экономически